Dlaczego fizycy porzucają stopnie, gdy tylko coś zaczyna się kręcić,
skąd się bierze sinusoida — i co ma do tego kawałek nitki.
Neutrina Lab · matematyka dla fizyki · radian i trygonometria
Strzałki ← → na klawiaturze albo przyciski Wstecz / Dalej na dole ekranu.
Pod pytaniami i w zadaniach odpowiedź jest schowana. Odsłania ją spacja albo Dalej; kółka ○ przy pasku pokazują, ile zostało.
Ruszaj suwakami, klikaj przyciski ‹ › i skróty pod nimi. ⏸ zatrzymuje ruch.
Kalkulator z trybem RAD, kartka, a do doświadczenia: cyrkiel, nitka i kątomierz.
P drukuje całość razem z odpowiedziami (można zapisać jako PDF). F — pełny ekran.
Działa, ale wygodniej na komputerze. Długi slajd przewiń palcem w dół. Wzory potrzebują internetu.
Pełny kąt ma 360 stopni, bo tak umówili się starożytni astronomowie z Mezopotamii. Najczęściej podawane wyjaśnienie: liczyli sześćdziesiątkowo (stąd 60 minut w godzinie), a rok ma prawie 360 dni — Słońce przesuwa się na niebie mniej więcej o „stopień” na dobę.
Najważniejsza zaleta: 360 ma aż 24 dzielniki. Okrąg łatwo podzielić na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 równych części — zawsze wychodzi liczba całkowita.
Po rewolucji francuskiej wprowadzono grad (gon): 400 na pełny kąt, kąt prosty = 100. Geodeci używają go do dziś. Dlatego kalkulator ma trzy tryby: DEG · RAD · GRAD.
Sumerowie, a po nich Babilończycy liczą w systemie sześćdziesiątkowym. Ślad zostaje do dziś: 60 minut, 60 sekund.
Grecy, zwłaszcza Hipparch, przejmują babiloński podział okręgu na 360 części. Ptolemeusz (II w. n.e.) dzieli stopnie sześćdziesiątkowo dalej — z tego podziału wzięły się późniejsze minuty i sekundy kątowe.
Roger Cotes, współpracownik Newtona, opisuje kąt jako stosunek łuku do promienia; w pracy wydanej po jego śmierci oblicza, że jednostka takiej miary to 57,2957…°.
Leonhard Euler traktuje sinus i cosinus jako funkcje liczby — kąta mierzonego łukiem. Tak liczy się je do dziś.
Słowo „radian” pierwszy raz w druku — w pytaniach egzaminacyjnych Jamesa Thomsona (brata lorda Kelvina) w Belfaście.
Radian trafia do układu SI. Od 1995 r. jest jednostką pochodną: \(1\ \mathrm{rad} = 1\ \mathrm{\frac{m}{m}}\).
Ogólnie: kąt w radianach to stosunek łuku do promienia.
\(\varphi\) — kąt (rad), \(s\) — długość łuku (m), \(r\) — promień (m). Metry się skracają, więc radian to w istocie czysta liczba: „ile promieni mieści się w łuku”.
Cyrkiel, kartka, nitka, ołówek, kątomierz.
Obwód okręgu to \(s = 2\pi r\). Wstawiamy go do definicji radianu:
pełny obrót
pół obrotu — najważniejsza para do zapamiętania
bo
\(\dfrac{180^\circ}{\pi} = 57{,}2958^\circ\)
Kąt \(\alpha\) w stopniach i ten sam kąt \(\varphi\) w radianach są tą samą częścią półobrotu:
\(\varphi = 72^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{72}{180}\,\pi = \dfrac{2}{5}\,\pi\)
\(\varphi = \dfrac{2\pi}{5} \approx 1{,}257\ \mathrm{rad}\)
Sprawdzenie: 72° to piąta część pełnego kąta, a \(\dfrac{2\pi}{5}\) to piąta część \(2\pi\). ✔
\(\alpha = 2{,}5\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 2{,}5\cdot 57{,}296^\circ\)
\(\alpha \approx 143{,}2^\circ\)
Sprawdzenie: 2,5 rad to mniej niż π ≈ 3,14 rad, więc kąt musi być mniejszy od 180°. ✔
| stopnie | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| radiany | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
| w przybliżeniu | 0,524 | 0,785 | 1,047 | 1,571 | 3,142 | 4,712 | 6,283 |
\(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\ \mathrm{rad}\)
\(\dfrac{\pi}{12} \approx 0{,}26\ \mathrm{rad}\)
\(\dfrac{\pi}{18} \approx 0{,}17\ \mathrm{rad}\)
\(135^\circ\)
\(20^\circ\)
\(\approx 171{,}9^\circ\)
Wielkość trójkąta nie ma znaczenia: trójkąty prostokątne z tym samym kątem \(\alpha\) są podobne, więc stosunki boków są równe. Sinus zależy tylko od kąta.
Dla trójkąta 3–4–5: \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\), \(\cos\alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\), \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
A jak znaleźć sam kąt? Kalkulator ma działanie odwrotne: SHIFT + sin (oznaczone \(\sin^{-1}\)) odpowiada na pytanie „jaki kąt ma sinus 0,6?”. Wynik: \(\alpha \approx 36{,}87^\circ \approx 0{,}644\ \mathrm{rad}\).
Trójkąt kończy się na 90°. Żeby mówić o sinusie dowolnego kąta, rysujemy okrąg o promieniu 1 i obracamy promień o kąt \(\varphi\) od osi \(x\), przeciwnie do wskazówek zegara. Kąt ujemny to obrót zgodnie ze wskazówkami, a kąt większy od \(2\pi\) — więcej niż jeden pełny obrót.
Dla kątów ostrych to ta sama definicja co w trójkącie — przeciwprostokątna ma długość 1. Z twierdzenia Pitagorasa:
| \(\varphi\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| stopnie | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| \(\sin\varphi\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\cos\varphi\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\operatorname{tg}\varphi\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | —* | \(0\) | —* | \(0\) |
* \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\), a tu \(\cos\varphi = 0\) — nie wolno dzielić przez zero, tangens nie istnieje.
Sinus kątów 0, 30°, 45°, 60°, 90° to kolejno \(\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}\). Cosinus — ta sama lista od końca.
Wszystkie wartości z tabeli da się wyprowadzić z dwóch figur i twierdzenia Pitagorasa.
Przekątna kwadratu o boku 1: \(c = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\).
\(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)
Trójkąt równoboczny o boku 2 przecięty na pół: podstawa 1, wysokość \(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}\).
\(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\)
Wysokość punktu na okręgu to \(\sin\varphi\). Po pełnym obrocie (\(\varphi = 2\pi\)) wszystko się powtarza — sinus jest funkcją okresową o okresie \(2\pi\). Cosinus to ten sam wykres przesunięty o \(\dfrac{\pi}{2}\) w lewo.
Ciągniesz sanki siłą \(F = 50\ \mathrm{N}\) pod kątem \(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\). Jaka część siły ciągnie je do przodu, a jaka podnosi?
Siłę zastępujemy dwiema prostopadłymi: poziomą \(F_{x}\) i pionową \(F_{y}\). Razem z \(F\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym \(F\) jest przeciwprostokątną, \(F_{x}\) leży przy kącie (cosinus), a \(F_{y}\) naprzeciw kąta (sinus).
\(F_{x} = F\cos\alpha = 50\ \mathrm{N}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 43{,}3\ \mathrm{N}\)
\(F_{y} = F\sin\alpha = 50\ \mathrm{N}\cdot\dfrac{1}{2} = 25\ \mathrm{N}\)
Wniosek: do przodu działa tylko 43,3 N z 50 N, ale 25 N odciąża sanki: słabiej naciskają na śnieg, więc tarcie maleje.
Te same trzy wzory zapisane w stopniach i w radianach:
| kąt w stopniach \(\alpha\) | kąt w radianach \(\varphi\) | |
|---|---|---|
| długość łuku | \(s = \dfrac{\pi}{180^\circ}\,\alpha\, r\) | \(s = \varphi\, r\) |
| pole wycinka koła | \(P = \dfrac{\pi}{360^\circ}\,\alpha\, r^{2}\) | \(P = \dfrac{1}{2}\,\varphi\, r^{2}\) |
| sinus małego kąta | \(\sin\alpha \approx \dfrac{\pi}{180^\circ}\,\alpha\) | \(\sin\varphi \approx \varphi\) |
Gdy kąt mnożysz przez inne wielkości albo sam staje się wynikiem: \(s = \varphi r\), \(\omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t}\), \(\sin\varphi \approx \varphi\). Wewnątrz sinusa czy cosinusa (np. \(F\cos 30^\circ\)) stopnie są w porządku — byle kalkulator był w tym samym trybie.
Z definicji radianu \(\varphi = \dfrac{s}{r}\) od razu dostajemy drogę, jaką przebywa punkt na obracającym się ciele:
Koło o promieniu \(r = 0{,}35\ \mathrm{m}\) obróciło się o kąt \(\varphi = 10\ \mathrm{rad}\). Jaką drogę przejechał rower? (Koło toczy się bez poślizgu.)
\(s = \varphi r = 10 \cdot 0{,}35\ \mathrm{m} = 3{,}5\ \mathrm{m}\) — „rad · m” daje metry, bo radian to czysta liczba.
To \(\dfrac{10}{2\pi} \approx 1{,}6\) obrotu koła.
Koło obraca się o ćwierć obrotu. Uczeń liczy:
\(s = 90 \cdot 0{,}35\ \mathrm{m} = 31{,}5\ \mathrm{m}\) ✘
Poprawnie: \(s = \dfrac{\pi}{2}\cdot 0{,}35\ \mathrm{m} \approx 0{,}55\ \mathrm{m}\) ✔
Ćwierć obwodu koła nie może być dłuższa niż cały rower.
Przez jeden okres \(T\) (czas jednego obrotu) ciało obraca się o pełny kąt \(2\pi\), więc:
| co się obraca | okres \(T\) | \(\omega\) w \(\mathrm{\frac{rad}{s}}\) |
|---|---|---|
| wskazówka sekundowa | 60 s | \(0{,}105\) |
| wskazówka minutowa | 3600 s | \(1{,}75\cdot 10^{-3}\) |
| wskazówka godzinowa | 43 200 s | \(1{,}45\cdot 10^{-4}\) |
| Ziemia (doba gwiazdowa) | 86 164 s | \(7{,}29\cdot 10^{-5}\) |
| bęben pralki, 1200 obr/min | 0,05 s | \(126\) |
Doba gwiazdowa (23 h 56 min 4 s) to czas jednego obrotu Ziemi względem gwiazd — nieco krótszy od doby słonecznej.
\(f\) — częstotliwość: liczba obrotów na sekundę, \(f = \dfrac{1}{T}\), jednostka \(\mathrm{Hz} = \mathrm{\frac{1}{s}}\). Radian jest „czystą liczbą”, więc \(\mathrm{\frac{rad}{s}}\) to w istocie też \(\mathrm{\frac{1}{s}}\).
Dzielimy drogę po łuku \(s = \varphi r\) przez czas:
Wszystkie punkty tarczy obracają się o ten sam kąt w tym samym czasie — mają to samo \(\omega\). Punkt dalej od osi przebywa jednak dłuższy łuk, więc ma większą prędkość liniową \(v\).
Pralka odwirowuje z prędkością 1200 obrotów na minutę. Bęben ma promień 25 cm. Z jaką prędkością porusza się pranie przyklejone do ścianki bębna?
\(f = \dfrac{1200}{60\ \mathrm{s}} = 20\ \mathrm{Hz}\)
\(r = 25\ \mathrm{cm} = 0{,}25\ \mathrm{m}\)
\(\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 20\ \mathrm{Hz}\)
\(\omega \approx 125{,}7\ \mathrm{\frac{rad}{s}}\)
\(v = \omega r = 125{,}7\cdot 0{,}25\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(v \approx 31{,}4\ \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 113\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)
Ziemia obraca się raz na dobę gwiazdową \(T = 86\,164\ \mathrm{s}\). Promień Ziemi \(R = 6378\ \mathrm{km}\). Rzeszów leży na szerokości 50° N, więc nie krąży po równiku, tylko po mniejszym okręgu wokół osi Ziemi.
Odcinek \(r\) jest równoległy do równika, więc kąt 50° ze środka Ziemi powtarza się przy Rzeszowie (kąty naprzemianległe). W tym trójkącie prostokątnym \(R\) jest przeciwprostokątną, a \(r\) leży przy kącie 50°: \(r = R\cos 50{,}04^\circ = 6378\ \mathrm{km}\cdot 0{,}6423 \approx 4096\ \mathrm{km}\).
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{6{,}283}{86\,164\ \mathrm{s}} \approx 7{,}29\cdot 10^{-5}\ \mathrm{\frac{rad}{s}}\)
\(v = \omega R = 7{,}29\cdot 10^{-5}\cdot 6{,}378\cdot 10^{6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(v \approx 465\ \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 1674\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)
\(v = \omega r = 7{,}29\cdot 10^{-5}\cdot 4{,}096\cdot 10^{6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(v \approx 299\ \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 1075\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)
\(\sin 30 = 0{,}5\) ✔
\(\sin 30 = -0{,}988\) ✘
\(\sin\dfrac{\pi}{6} = 0{,}5\) ✔
Funkcje trygonometryczne w Pythonie, JavaScripcie i Excelu przyjmują radiany. Stopnie trzeba najpierw zamienić:
math.sin(math.radians(30)) · Math.sin(30 * Math.PI / 180) · =SIN(RADIANY(30))
Dla małego kąta łuk (pomarańczowy), sinus (granatowy) i tangens (różowy) mają prawie tę samą długość — mały kawałek okręgu jest prawie prosty. Łuk na okręgu o promieniu 1 ma długość równą kątowi w radianach, stąd \(\sin\varphi \approx \varphi\). Działa to tylko w radianach.
| kąt | \(\varphi\) (rad) | \(\sin\varphi\) | różnica względna |
|---|---|---|---|
| 5° | 0,0873 | 0,0872 | 0,13 % |
| 10° | 0,1745 | 0,1736 | 0,5 % |
| 20° | 0,3491 | 0,3420 | 2,1 % |
| 45° | 0,7854 | 0,7071 | 11 % |
Właśnie dlatego wzór na okres wahadła (poznasz go przy drganiach) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) obowiązuje tylko dla małych wychyleń — przy jego wyprowadzaniu zamienia się \(\sin\varphi\) na \(\varphi\).
Gdy przedmiot o średnicy \(D\) jest daleko (\(d \gg D\)), jego średnica to prawie łuk, więc kąt, pod jakim go widzimy, wynosi:
\(\dfrac{3474\ \mathrm{km}}{384\,400\ \mathrm{km}} = 0{,}0090\ \mathrm{rad} \approx 0{,}52^\circ\)
średnio; zmienia się od 0,49° do 0,56°
\(\dfrac{1{,}39\cdot 10^{6}\ \mathrm{km}}{1{,}50\cdot 10^{8}\ \mathrm{km}} = 0{,}0093\ \mathrm{rad} \approx 0{,}53^\circ\)
prawie tyle co Księżyc — stąd całkowite zaćmienia
\(\dfrac{2\ \mathrm{cm}}{60\ \mathrm{cm}} = 0{,}033\ \mathrm{rad} \approx 1{,}9^\circ\)
Przyspieszenie dośrodkowe: \(a = \omega^{2} r = \dfrac{v^{2}}{r}\)
Prędkość kątowa Księżyca na orbicie: \(\omega = \dfrac{2\pi}{27{,}3\ \text{doby}}\)
Wychylenie \(x = A\sin(\omega t)\) — argument sinusa \(\omega t\) jest w radianach
Faza fali, różnica faz \(\pi\) = wygaszenie, kąty ugięcia na siatce dyfrakcyjnej
\(\varphi = \dfrac{s}{r}\) oraz \(s = \varphi r\)
\(360^\circ = 2\pi\ \mathrm{rad}\)
\(1\ \mathrm{rad} \approx 57{,}3^\circ\)
\(\omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f\)
\(v = \omega r\)
\(\sin\alpha = \dfrac{a}{c}\), \(\cos\alpha = \dfrac{b}{c}\), \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)
\(\varphi \approx \dfrac{D}{d}\) (małe kąty)
150° na radiany, \(\dfrac{7\pi}{4}\) na stopnie, 2 rad na stopnie.
\(150^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\ \mathrm{rad}\)
\(\dfrac{7\pi}{4}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 315^\circ\)
\(2\cdot 57{,}3^\circ \approx 114{,}6^\circ\)
Ma długość 12 cm. Oblicz jej prędkość kątową i prędkość liniową jej końca.
\(T = 60\ \mathrm{min} = 3600\ \mathrm{s}\), \(r = 0{,}12\ \mathrm{m}\)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{3600\ \mathrm{s}} \approx 1{,}75\cdot 10^{-3}\ \mathrm{\frac{rad}{s}}\)
\(v = \omega r \approx 2{,}1\cdot 10^{-4}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\), czyli 0,21 mm na sekundę
Rower jedzie 5,5 m/s, koło ma promień 0,35 m. Oblicz \(\omega\) koła i liczbę obrotów na minutę.
\(\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{5{,}5}{0{,}35} \approx 15{,}7\ \mathrm{\frac{rad}{s}}\)
\(f = \dfrac{\omega}{2\pi} \approx 2{,}5\ \mathrm{\frac{obr}{s}}\)
\(2{,}5\cdot 60 = 150\ \mathrm{\frac{obr}{min}}\)
Zmierz linijką szerokość kciuka i odległość od oka do kciuka na wyciągniętej ręce. Oblicz rozmiar kątowy kciuka w radianach i stopniach. Ile tarcz Księżyca (0,52°) zasłonisz?
Przykład: \(D = 2\ \mathrm{cm}\), \(d = 60\ \mathrm{cm}\):
\(\varphi \approx \dfrac{2}{60} \approx 0{,}033\ \mathrm{rad} \approx 1{,}9^\circ\)
\(\dfrac{1{,}9^\circ}{0{,}52^\circ} \approx 3{,}7\) — prawie cztery Księżyce. Twój wynik powinien wyjść w okolicach 0,03–0,04 rad.
Ciągniesz walizkę siłą 80 N pod kątem 0,5 rad do poziomu. Oblicz składową poziomą i pionową siły.
Kalkulator w trybie RAD (0,5 rad ≈ 28,6°):
\(F_{x} = 80\ \mathrm{N}\cdot\cos 0{,}5 \approx 80\cdot 0{,}878 \approx 70{,}2\ \mathrm{N}\)
\(F_{y} = 80\ \mathrm{N}\cdot\sin 0{,}5 \approx 80\cdot 0{,}479 \approx 38{,}4\ \mathrm{N}\)
„Księga natury napisana jest w języku matematyki, a jej litery to trójkąty, koła i inne figury geometryczne.”
— Galileusz, Il Saggiatore (1623), w swobodnym przekładzie
Neutrina Lab · fizyka · klasa 1 LO · radian